Ratkaise {left(14-4y/3right)}^2-10(14-4y/3)+y^2-12y-39=0

$${ \left( \frac{ 14-4y }{ 3 } \right) }^{ 2 } -10( \frac{ 14-4y }{ 3 } )+ { y }^{ 2 } -12y-39=0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=3\sqrt{3}+2\approx 7,196152423$$

$$y=2-3\sqrt{3}\approx -3,196152423$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Kohota \frac{14-4y}{3} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Ilmaise 10\times \frac{14-4y}{3} säännöllisenä murtolukuna.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Laske lukujen 10 ja 14-4y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen 3^{2} ja 3 pienin yhteinen jaettava on 9. Kerro \frac{140-40y}{3} ja \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Koska arvoilla \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} ja \frac{3\left(140-40y\right)}{9} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Supista lausekkeiden 3 ja 9 suurin yhteinen tekijä 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Jaa jokainen yhtälön -224+8y+16y^{2} termi luvulla 3, ja saat tulokseksi -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Selvitä \frac{25}{3}y^{2} yhdistämällä \frac{16}{3}y^{2} ja 3y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Selvitä -\frac{100}{3}y yhdistämällä \frac{8}{3}y ja -36y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Vähennä 117 luvusta -\frac{224}{3} saadaksesi tuloksen -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y-\frac{575}{3}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{25}{3}, b luvulla -\frac{100}{3} ja c luvulla -\frac{575}{3} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{100}{3}\right)^{2}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Korota -\frac{100}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Kerro -4 ja \frac{25}{3}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-\frac{100}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Kerro -\frac{100}{3} ja -\frac{575}{3} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000+57500}{9}}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Lisää \frac{10000}{9} lukuun \frac{57500}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{7500}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Ota luvun 7500 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Luvun -\frac{100}{3} vastaluku on \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Kerro 2 ja \frac{25}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{100}{3} lukuun 50\sqrt{3}.

$$y=\frac{50\sqrt{3}+\frac{100}{3}}{\frac{50}{3}}$$

Jaa \frac{100}{3}+50\sqrt{3} luvulla \frac{50}{3} kertomalla \frac{100}{3}+50\sqrt{3} luvun \frac{50}{3} käänteisluvulla.

$$y=3\sqrt{3}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 50\sqrt{3} luvusta \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}-50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Jaa \frac{100}{3}-50\sqrt{3} luvulla \frac{50}{3} kertomalla \frac{100}{3}-50\sqrt{3} luvun \frac{50}{3} käänteisluvulla.

$$y=2-3\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Kohota \frac{14-4y}{3} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Ilmaise 10\times \frac{14-4y}{3} säännöllisenä murtolukuna.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Laske lukujen 10 ja 14-4y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen 3^{2} ja 3 pienin yhteinen jaettava on 9. Kerro \frac{140-40y}{3} ja \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Koska arvoilla \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} ja \frac{3\left(140-40y\right)}{9} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Supista lausekkeiden 3 ja 9 suurin yhteinen tekijä 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Jaa jokainen yhtälön -224+8y+16y^{2} termi luvulla 3, ja saat tulokseksi -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Selvitä \frac{25}{3}y^{2} yhdistämällä \frac{16}{3}y^{2} ja 3y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Selvitä -\frac{100}{3}y yhdistämällä \frac{8}{3}y ja -36y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Vähennä 117 luvusta -\frac{224}{3} saadaksesi tuloksen -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Lisää \frac{575}{3} molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=\frac{575}{3}$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y=\frac{575}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{25}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Jakaminen luvulla \frac{25}{3} kumoaa kertomisen luvulla \frac{25}{3}.

$$y^{2}+\left(-\frac{\frac{100}{3}}{\frac{25}{3}}\right)y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Jaa -\frac{100}{3} luvulla \frac{25}{3} kertomalla -\frac{100}{3} luvun \frac{25}{3} käänteisluvulla.

$$y^{2}-4y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Jaa \frac{575}{3} luvulla \frac{25}{3} kertomalla \frac{575}{3} luvun \frac{25}{3} käänteisluvulla.

$$y^{2}-4y=23$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=23+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$y^{2}-4y+4=23+4$$

Lisää 23 lukuun 4.

$$y^{2}-4y+4=27$$

Jaa y^{2}-4y+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=27$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{27}$$

Sievennä.

$$y-2=3\sqrt{3} y-2=-3\sqrt{3}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$