Ratkaise {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Laske

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Ratkaisun vaiheet

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} kertomalla osoittaja ja nimittäjä \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Korota \sqrt{3} neliöön. Korota 1 neliöön.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Vähennä 1 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Kerro \sqrt{3}+1 ja \sqrt{3}+1, niin saadaan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Selvitä 4 laskemalla yhteen 3 ja 1.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Jaa jokainen yhtälön 4+2\sqrt{3} termi luvulla 2, ja saat tulokseksi 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} laajentamiseen.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 4 ja 3.

$$7+4\sqrt{3}$$

Lavenna

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Ratkaisun vaiheet

Muunna rationaaliluvuksi nimittäjä \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} kertomalla osoittaja ja nimittäjä \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Korota \sqrt{3} neliöön. Korota 1 neliöön.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Vähennä 1 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Kerro \sqrt{3}+1 ja \sqrt{3}+1, niin saadaan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(\sqrt{3}+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Selvitä 4 laskemalla yhteen 3 ja 1.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Jaa jokainen yhtälön 4+2\sqrt{3} termi luvulla 2, ja saat tulokseksi 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} laajentamiseen.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 4 ja 3.

$$7+4\sqrt{3}$$