Ratkaise sqrt{x+5}=x

$$\sqrt{ x+5 } =x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{21} + 1}{2} \approx 2,791287847$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=x^{2}$$

Laske \sqrt{x+5} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x+5.

$$x+5=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x+5-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-2}$$

Jaa -1+\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{21} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-2}$$

Jaa -1-\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{1-\sqrt{21}}{2} yhtälössä \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{21}}{2}+5}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{1-\sqrt{21}}{2} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{21}+1}{2} yhtälössä \sqrt{x+5}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+1}{2}+5}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{21}+1}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 21^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Yhtälöön\sqrt{x+5}=x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$$