Ratkaise sqrt{x+5}=x+4

$$\sqrt{ x+5 } = x+4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}\approx -2,381966011$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(x+4\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x+5} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x+5.

$$x+5=\left(x+4\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+4\right)^{2} laajentamiseen.

$$x+5=x^{2}+8x+16$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x+5-x^{2}=8x+16$$

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$x+5-x^{2}-8x=16$$

Selvitä -7x yhdistämällä x ja -8x.

$$-7x+5-x^{2}=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$-7x+5-x^{2}-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 5 saadaksesi tuloksen -11.

$$-7x-11-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-7x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -7 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\left(-11\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-44}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 49 lukuun -44.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+7}{-2}$$

Jaa 7+\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{5}}{-2}$$

Jaa 7-\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{-\sqrt{5}-7}{2} yhtälössä \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{-\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-\sqrt{5}-7}{2} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{5}-7}{2} yhtälössä \sqrt{x+5}=x+4.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-7}{2}+5}=\frac{\sqrt{5}-7}{2}+4$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{5}-7}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Yhtälöön\sqrt{x+5}=x+4 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{\sqrt{5}-7}{2}$$