Ratkaise sqrt{x+3}=x

$$\sqrt{ x+3 } =x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{2} \approx 2,302775638$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=x^{2}$$

Laske \sqrt{x+3} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x+3.

$$x+3=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x+3-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 3}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun 12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{-2}$$

Jaa -1+\sqrt{13} luvulla -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{13}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{13} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{-2}$$

Jaa -1-\sqrt{13} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{1-\sqrt{13}}{2} yhtälössä \sqrt{x+3}=x.

$$\sqrt{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+3}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{1-\sqrt{13}}{2} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{13}+1}{2} yhtälössä \sqrt{x+3}=x.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{13}+1}{2}+3}=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{13}+1}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 13^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Yhtälöön\sqrt{x+3}=x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$$