Ratkaise sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Selvitä 3x yhdistämällä x ja 2x.

$$3x-x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jaa -3+\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jaa -3-\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{3-\sqrt{5}}{2} yhtälössä \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Sievennä. Arvo x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{5}+3}{2} yhtälössä \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Yhtälöön\sqrt{x}=x-1 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$