Ratkaise sqrt{x}=5x+3

$$\sqrt{ x } =5x+3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}\approx -0,58+0,153622915i$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5x+3\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$x=\left(5x+3\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x=25x^{2}+30x+9$$

Vähennä 25x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-25x^{2}=30x+9$$

Vähennä 30x molemmilta puolilta.

$$x-25x^{2}-30x=9$$

Selvitä -29x yhdistämällä x ja -30x.

$$-29x-25x^{2}=9$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$-29x-25x^{2}-9=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-25x^{2}-29x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -25, b luvulla -29 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Korota -29 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\left(-25\right)\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Kerro -4 ja -25.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+100\left(-9\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Kerro 100 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-900}}{2\left(-25\right)}$$

Lisää 841 lukuun -900.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

Ota luvun -59 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Luvun -29 vastaluku on 29.

$$x=\frac{29±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Kerro 2 ja -25.

$$x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 29 lukuun i\sqrt{59}.

$$x=\frac{29+\sqrt{59}i}{-50}$$

Jaa 29+i\sqrt{59} luvulla -50.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±\sqrt{59}i}{-50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{59} luvusta 29.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+29}{-50}$$

Jaa 29-i\sqrt{59} luvulla -50.

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50} x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$

Korvaa x arvolla \frac{-\sqrt{59}i-29}{50} yhtälössä \sqrt{x}=5x+3.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{59}i-29}{50}}=5\times \frac{-\sqrt{59}i-29}{50}+3$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-\sqrt{59}i-29}{50} ei täytä yhtälöä.

$$-\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{10}$$

Korvaa x arvolla \frac{-29+\sqrt{59}i}{50} yhtälössä \sqrt{x}=5x+3.

$$\sqrt{\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}}=5\times \frac{-29+\sqrt{59}i}{50}+3$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}i\times 59^{\frac{1}{2}}$$

Yhtälöön\sqrt{x}=5x+3 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{-29+\sqrt{59}i}{50}$$