Ratkaise sqrt{x}+x=5

$$\sqrt{ x } +x=5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{11 - \sqrt{21}}{2} \approx 3,208712153$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä x yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{x}=5-x$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5-x\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$x=\left(5-x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$x=25-10x+x^{2}$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$x-25=-10x+x^{2}$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$x-25+10x=x^{2}$$

Selvitä 11x yhdistämällä x ja 10x.

$$11x-25=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$11x-25-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+11x-25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 11 ja c luvulla -25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\left(-25\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -25.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-100}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 121 lukuun -100.

$$x=\frac{-11±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{21}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-11}{-2}$$

Jaa -11+\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{11-\sqrt{21}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{21}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{21} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-11}{-2}$$

Jaa -11-\sqrt{21} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+11}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+11}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{11-\sqrt{21}}{2} yhtälössä \sqrt{x}+x=5.

$$\sqrt{\frac{11-\sqrt{21}}{2}}+\frac{11-\sqrt{21}}{2}=5$$

Sievennä. Arvo x=\frac{11-\sqrt{21}}{2} täyttää yhtälön.

$$5=5$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{21}+11}{2} yhtälössä \sqrt{x}+x=5.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{21}+11}{2}}+\frac{\sqrt{21}+11}{2}=5$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{21}+11}{2} ei täytä yhtälöä.

$$6+21^{\frac{1}{2}}=5$$

Yhtälöön\sqrt{x}=5-x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{11-\sqrt{21}}{2}$$