Ratkaise sqrt{4578}x^2-sqrt{4677521}x+31478=10523

$$\sqrt{ 4578 } { x }^{ 2 } - \sqrt{ 4677521 } x+31478=10523$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{21413691138}+i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}}{9156}\approx 15,982325934+7,366910212i$$

$$x=\frac{-i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}+\sqrt{21413691138}}{9156}\approx 15,982325934-7,366910212i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 10523 molemmilta puolilta.

$$\sqrt{4578}x^{2}-\sqrt{4677521}x+31478-10523=0$$

Vähennä 10523 luvusta 31478 saadaksesi tuloksen 20955.

$$\sqrt{4578}x^{2}-\sqrt{4677521}x+20955=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\sqrt{4578}x^{2}+\left(-\sqrt{4677521}\right)x+20955=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \sqrt{4578}, b luvulla -\sqrt{4677521} ja c luvulla 20955 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{4677521}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{4677521}\right)^{2}-4\sqrt{4578}\times 20955}}{2\sqrt{4578}}$$

Korota -\sqrt{4677521} neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{4677521}\right)±\sqrt{4677521-4\sqrt{4578}\times 20955}}{2\sqrt{4578}}$$

Kerro -4 ja \sqrt{4578}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{4677521}\right)±\sqrt{4677521+\left(-4\sqrt{4578}\right)\times 20955}}{2\sqrt{4578}}$$

Kerro -4\sqrt{4578} ja 20955.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{4677521}\right)±\sqrt{4677521-83820\sqrt{4578}}}{2\sqrt{4578}}$$

Ota luvun 4677521-83820\sqrt{4578} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{4677521}\right)±i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)}}{2\sqrt{4578}}$$

Luvun -\sqrt{4677521} vastaluku on \sqrt{4677521}.

$$x=\frac{\sqrt{4677521}±i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)}}{2\sqrt{4578}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\sqrt{4677521}±i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)}}{2\sqrt{4578}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \sqrt{4677521} lukuun i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)}.

$$x=\frac{\sqrt{4677521}+i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}}{2\sqrt{4578}}$$

Jaa \sqrt{4677521}+i\sqrt{-4677521+83820\sqrt{4578}} luvulla 2\sqrt{4578}.

$$x=\frac{\sqrt{4578}\left(\sqrt{4677521}+i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}\right)}{9156}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\sqrt{4677521}±i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)}}{2\sqrt{4578}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{-\left(4677521-83820\sqrt{4578}\right)} luvusta \sqrt{4677521}.

$$x=\frac{-i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}+\sqrt{4677521}}{2\sqrt{4578}}$$

Jaa \sqrt{4677521}-i\sqrt{-4677521+83820\sqrt{4578}} luvulla 2\sqrt{4578}.

$$x=\frac{\sqrt{4578}\left(-i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}+\sqrt{4677521}\right)}{9156}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{4578}\left(\sqrt{4677521}+i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}\right)}{9156} x=\frac{\sqrt{4578}\left(-i\sqrt{83820\sqrt{4578}-4677521}+\sqrt{4677521}\right)}{9156}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 31478 molemmilta puolilta.

$$\sqrt{4578}x^{2}-\sqrt{4677521}x=10523-31478$$

Vähennä 31478 luvusta 10523 saadaksesi tuloksen -20955.

$$\sqrt{4578}x^{2}-\sqrt{4677521}x=-20955$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\sqrt{4578}x^{2}+\left(-\sqrt{4677521}\right)x=-20955$$

Jaa molemmat puolet luvulla \sqrt{4578}.

$$\frac{\sqrt{4578}x^{2}+\left(-\sqrt{4677521}\right)x}{\sqrt{4578}}=-\frac{20955}{\sqrt{4578}}$$

Jakaminen luvulla \sqrt{4578} kumoaa kertomisen luvulla \sqrt{4578}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{4677521}}{\sqrt{4578}}\right)x=-\frac{20955}{\sqrt{4578}}$$

Jaa -\sqrt{4677521} luvulla \sqrt{4578}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{4578}\right)x=-\frac{20955}{\sqrt{4578}}$$

Jaa -20955 luvulla \sqrt{4578}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{4578}\right)x=-\frac{6985\sqrt{4578}}{1526}$$

Jaa -\frac{\sqrt{21413691138}}{4578} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}. Lisää sitten -\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{4578}\right)x+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}\right)^{2}=-\frac{6985\sqrt{4578}}{1526}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}\right)^{2}$$

Korota -\frac{\sqrt{21413691138}}{9156} neliöön.

$$x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{4578}\right)x+\frac{4677521}{18312}=-\frac{6985\sqrt{4578}}{1526}+\frac{4677521}{18312}$$

Jaa x^{2}+\left(-\frac{\sqrt{21413691138}}{4578}\right)x+\frac{4677521}{18312} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}\right)^{2}=-\frac{6985\sqrt{4578}}{1526}+\frac{4677521}{18312}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6985\sqrt{4578}}{1526}+\frac{4677521}{18312}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}=\frac{i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}}{9156} x-\frac{\sqrt{21413691138}}{9156}=-\frac{i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}}{9156}$$

Lisää \frac{\sqrt{21413691138}}{9156} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{21413691138}+i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}}{9156} x=\frac{-i\sqrt{383727960\sqrt{4578}-21413691138}+\sqrt{21413691138}}{9156}$$