Ratkaise sqrt{2x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt{ 2x+1 } - \sqrt{ 2x-1 } =1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{5}{8}=0,625$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä -\sqrt{2x-1} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{2x+1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2x+1.

$$2x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2} laajentamiseen.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{2x-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2x-1.

$$2x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Vähennä 1 luvusta 1 saadaksesi tuloksen 0.

$$2x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Vähennä 2\sqrt{2x-1} molemmilta puolilta.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}=2x$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$2x+1-2\sqrt{2x-1}-2x=0$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2x ja -2x.

$$1-2\sqrt{2x-1}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-2\sqrt{2x-1}=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{-1}{-2}$$

Murtolauseke \frac{-1}{-2} voidaan sieventää muotoon \frac{1}{2} poistamalla sekä osoittajan että nimittäjän negatiivinen etumerkki.

$$\sqrt{2x-1}=\frac{1}{2}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$2x-1=\frac{1}{4}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x-1-\left(-1\right)=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$2x=\frac{1}{4}-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta \frac{1}{4}.

$$2x=\frac{5}{4}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x}{2}=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x=\frac{\frac{5}{4}}{2}$$

Jaa \frac{5}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{8}$$

Korvaa x arvolla \frac{5}{8} yhtälössä \sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{2\times \frac{5}{8}+1}-\sqrt{2\times \frac{5}{8}-1}=1$$

Sievennä. Arvo x=\frac{5}{8} täyttää yhtälön.

$$1=1$$

Yhtälöön\sqrt{2x+1}=\sqrt{2x-1}+1 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{5}{8}$$