Ratkaise sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Lukujen 2 ja 4 pienin yhteinen jaettava on 4. Muunna \frac{1}{2} ja \frac{1}{4} murtoluvuiksi, joiden nimittäjä on 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Koska arvoilla \frac{2}{4} ja \frac{1}{4} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen 2 ja 1.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Lukujen 4 ja 8 pienin yhteinen jaettava on 8. Muunna \frac{3}{4} ja \frac{1}{8} murtoluvuiksi, joiden nimittäjä on 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Koska arvoilla \frac{6}{8} ja \frac{1}{8} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 6 ja 1.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Lukujen 8 ja 16 pienin yhteinen jaettava on 16. Muunna \frac{7}{8} ja \frac{1}{16} murtoluvuiksi, joiden nimittäjä on 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Koska arvoilla \frac{14}{16} ja \frac{1}{16} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Selvitä 15 laskemalla yhteen 14 ja 1.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Laske \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla \frac{1}{2} ja c luvulla \frac{15}{16} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{15}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{1}{2} lukuun 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Jaa \frac{3}{2} luvulla -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Jaa -\frac{5}{2} luvulla -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Korvaa x arvolla -\frac{3}{4} yhtälössä \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Sievennä. Arvo x=-\frac{3}{4} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Korvaa x arvolla \frac{5}{4} yhtälössä \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{5}{4} täyttää yhtälön.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Yhtälöön\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{5}{4}$$