Ratkaise sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen -1 ja 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Lavenna \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x+3} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Laske lukujen 4 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Vähennä x+3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x+3 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Vähennä 3 luvusta 12 saadaksesi tuloksen 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Lavenna \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Laske -4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Laske lukujen 16 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+9\right)^{2} laajentamiseen.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Vähennä 54x molemmilta puolilta.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Selvitä -38x yhdistämällä 16x ja -54x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Vähennä 81 molemmilta puolilta.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Vähennä 81 luvusta -16 saadaksesi tuloksen -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla -38 ja c luvulla -97 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korota -38 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 1444 lukuun -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun -2048 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Luvun -38 vastaluku on 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 38 lukuun 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Jaa 38+32i\sqrt{2} luvulla -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 32i\sqrt{2} luvusta 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Jaa 38-32i\sqrt{2} luvulla -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Korvaa x arvolla \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} yhtälössä \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} täyttää yhtälön.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} yhtälössä \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} ei täytä yhtälöä.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} yhtälössä \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} täyttää yhtälön.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Yhtälöön\sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$