Ratkaise sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Laske \sqrt{x-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-1-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -3 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Jaa -1+i\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{3} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Jaa -1-i\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} yhtälössä \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} ei täytä yhtälöä.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{1+\sqrt{3}i}{2} yhtälössä \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Yhtälöön\sqrt{x-1}=x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$