Ratkaise sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x^{2}-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{2x+1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Vähennä 1 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Jaa 2+2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2-2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Korvaa x arvolla \sqrt{3}+1 yhtälössä \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{3}+1 täyttää yhtälön.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla 1-\sqrt{3} yhtälössä \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Sievennä. Arvo x=1-\sqrt{3} täyttää yhtälön.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Näytä yhtälön \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} kaikki ratkaisut.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x^{2}-1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{2x+1} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Vähennä 1 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Lisää 4 lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Jaa 2+2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Jaa 2-2\sqrt{3} luvulla 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Korvaa x arvolla \sqrt{3}+1 yhtälössä \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{3}+1 täyttää yhtälön.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla 1-\sqrt{3} yhtälössä \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Lausekkeen \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} on määrittämätön, koska juurrettava ei voi olla negatiivinen.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Yhtälöön\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\sqrt{3}+1$$