Ratkaise sqrt{a^2-4a+20}=sqrt{a}

$$\sqrt { a ^ { 2 } - 4 a + 20 } = \sqrt { a }$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=2\sqrt{5}e^{\arctan(\frac{\sqrt{55}}{5})i}\approx 2,5+3,708099244i$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{a^{2}-4a+20}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{a^{2}-4a+20} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a^{2}-4a+20.

$$a^{2}-4a+20=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{a} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a.

$$a^{2}-4a+20=a$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$a^{2}-4a+20-a=0$$

Selvitä -5a yhdistämällä -4a ja -a.

$$a^{2}-5a+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -5 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 20}}{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 20}}{2}$$

Kerro -4 ja 20.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-80}}{2}$$

Lisää 25 lukuun -80.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-55}}{2}$$

Ota luvun -55 neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{55}i}{2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun i\sqrt{55}.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{5±\sqrt{55}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{55} luvusta 5.

$$a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$

Korvaa a arvolla \frac{5+\sqrt{55}i}{2} yhtälössä \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{5+\sqrt{55}i}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5+\sqrt{55}i}{2}+20}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{55}i}{2}}$$

Sievennä. Arvo a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}\left(10+2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa a arvolla \frac{-\sqrt{55}i+5}{2} yhtälössä \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}\right)^{2}-4\times \frac{-\sqrt{55}i+5}{2}+20}=\sqrt{\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}}$$

Sievennä. Arvo a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2} täyttää yhtälön.

$$\frac{1}{2}\left(10-2i\times 55^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{1}{2}i\times 55^{\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Näytä yhtälön \sqrt{a^{2}-4a+20}=\sqrt{a} kaikki ratkaisut.

$$a=\frac{5+\sqrt{55}i}{2} a=\frac{-\sqrt{55}i+5}{2}$$