Ratkaise sqrt{4y+20}-sqrt{y-4}=6

$$\sqrt { 4 y + 20 } - \sqrt { y - 4 } = 6$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=20$$

$$y=4$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä -\sqrt{y-4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{4y+20}=6+\sqrt{y-4}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{4y+20}\right)^{2}=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{4y+20} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4y+20.

$$4y+20=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2} laajentamiseen.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{y-4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee y-4.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+y-4$$

Vähennä 4 luvusta 36 saadaksesi tuloksen 32.

$$4y+20=32+12\sqrt{y-4}+y$$

Vähennä 32+y yhtälön molemmilta puolilta.

$$4y+20-\left(32+y\right)=12\sqrt{y-4}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 32+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4y+20-32-y=12\sqrt{y-4}$$

Vähennä 32 luvusta 20 saadaksesi tuloksen -12.

$$4y-12-y=12\sqrt{y-4}$$

Selvitä 3y yhdistämällä 4y ja -y.

$$3y-12=12\sqrt{y-4}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(3y-12\right)^{2}=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3y-12\right)^{2} laajentamiseen.

$$9y^{2}-72y+144=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Lavenna \left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=12^{2}\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Laske 12 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 144.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{y-4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(y-4\right)$$

Laske lukujen 144 ja y-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9y^{2}-72y+144=144y-576$$

Vähennä 144y molemmilta puolilta.

$$9y^{2}-72y+144-144y=-576$$

Selvitä -216y yhdistämällä -72y ja -144y.

$$9y^{2}-216y+144=-576$$

Lisää 576 molemmille puolille.

$$9y^{2}-216y+144+576=0$$

Selvitä 720 laskemalla yhteen 144 ja 576.

$$9y^{2}-216y+720=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -216 ja c luvulla 720 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{\left(-216\right)^{2}-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Korota -216 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-36\times 720}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 720.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-25920}}{2\times 9}$$

Lisää 46656 lukuun -25920.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{20736}}{2\times 9}$$

Ota luvun 20736 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±144}{2\times 9}$$

Luvun -216 vastaluku on 216.

$$y=\frac{216±144}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$y=\frac{216±144}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{216±144}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 216 lukuun 144.

$$y=\frac{360}{18}$$

Jaa 360 luvulla 18.

$$y=20$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{216±144}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 144 luvusta 216.

$$y=\frac{72}{18}$$

Jaa 72 luvulla 18.

$$y=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=20 y=4$$

Korvaa y arvolla 20 yhtälössä \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 20+20}-\sqrt{20-4}=6$$

Sievennä. Arvo y=20 täyttää yhtälön.

$$6=6$$

Korvaa y arvolla 4 yhtälössä \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 4+20}-\sqrt{4-4}=6$$

Sievennä. Arvo y=4 täyttää yhtälön.

$$6=6$$

Näytä yhtälön \sqrt{4y+20}=\sqrt{y-4}+6 kaikki ratkaisut.

$$y=20 y=4$$