Ratkaise sqrt{3x+4}=3x+1/2

$$\sqrt { 3 x + 4 } = \frac { 3 x + 1 } { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{3x+4}\right)^{2}=\left(\frac{3x+1}{2}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{3x+4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 3x+4.

$$3x+4=\left(\frac{3x+1}{2}\right)^{2}$$

Kohota \frac{3x+1}{2} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$3x+4=\frac{\left(3x+1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$3x+4=\frac{9x^{2}+6x+1}{2^{2}}$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$3x+4=\frac{9x^{2}+6x+1}{4}$$

Jaa jokainen yhtälön 9x^{2}+6x+1 termi luvulla 4, ja saat tulokseksi \frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}.

$$3x+4=\frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4}x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+4-\frac{9}{4}x^{2}=\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$$

Vähennä \frac{3}{2}x molemmilta puolilta.

$$3x+4-\frac{9}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{4}$$

Selvitä \frac{3}{2}x yhdistämällä 3x ja -\frac{3}{2}x.

$$\frac{3}{2}x+4-\frac{9}{4}x^{2}=\frac{1}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} molemmilta puolilta.

$$\frac{3}{2}x+4-\frac{9}{4}x^{2}-\frac{1}{4}=0$$

Vähennä \frac{1}{4} luvusta 4 saadaksesi tuloksen \frac{15}{4}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{15}{4}-\frac{9}{4}x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{9}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{15}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{9}{4}, b luvulla \frac{3}{2} ja c luvulla \frac{15}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{9}{4}\right)\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{9}{4}\right)\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{9}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+9\times \frac{15}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Kerro 9 ja \frac{15}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9+135}{4}}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun \frac{135}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{36}}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{2\left(-\frac{9}{4}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{9}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{3}{2} lukuun 6.

$$x=\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{9}{2}}$$

Jaa \frac{9}{2} luvulla -\frac{9}{2} kertomalla \frac{9}{2} luvun -\frac{9}{2} käänteisluvulla.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{3}{2}±6}{-\frac{9}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta -\frac{3}{2}.

$$x=-\frac{\frac{15}{2}}{-\frac{9}{2}}$$

Jaa -\frac{15}{2} luvulla -\frac{9}{2} kertomalla -\frac{15}{2} luvun -\frac{9}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=\frac{5}{3}$$

Korvaa x arvolla -1 yhtälössä \sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+4}=\frac{3\left(-1\right)+1}{2}$$

Sievennä. Arvo x=-1 ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$1=-1$$

Korvaa x arvolla \frac{5}{3} yhtälössä \sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2}.

$$\sqrt{3\times \frac{5}{3}+4}=\frac{3\times \frac{5}{3}+1}{2}$$

Sievennä. Arvo x=\frac{5}{3} täyttää yhtälön.

$$3=3$$

Yhtälöön\sqrt{3x+4}=\frac{3x+1}{2} on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{5}{3}$$