Ratkaise sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä -\sqrt{15+x^{2}} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{25-x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} laajentamiseen.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{15+x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Selvitä 31 laskemalla yhteen 16 ja 15.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Vähennä 31+x^{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 31+x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Vähennä 31 luvusta 25 saadaksesi tuloksen -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(-6-2x^{2}\right)^{2} laajentamiseen.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Lavenna \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Laske 8 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{15+x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Laske lukujen 64 ja 15+x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Vähennä 960 molemmilta puolilta.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Vähennä 960 luvusta 36 saadaksesi tuloksen -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Vähennä 64x^{2} molemmilta puolilta.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Selvitä -40x^{2} yhdistämällä 24x^{2} ja -64x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan -40 tilalle b ja muuttujan -924 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{40±128}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=21 t=-11$$

Koska x=t^{2}, ratkaisut on saatu arvioidaan x=±\sqrt{t} kullekin t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Korvaa x arvolla -\sqrt{21} yhtälössä \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sievennä. Arvo x=-\sqrt{21} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-4=4$$

Korvaa x arvolla \sqrt{21} yhtälössä \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{21} ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$-4=4$$

Korvaa x arvolla -\sqrt{11}i yhtälössä \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sievennä. Arvo x=-\sqrt{11}i täyttää yhtälön.

$$4=4$$

Korvaa x arvolla \sqrt{11}i yhtälössä \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{11}i täyttää yhtälön.

$$4=4$$

Näytä yhtälön \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 kaikki ratkaisut.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$