Ratkaise sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä -\sqrt{19-x^{2}} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{15+x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} laajentamiseen.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{19-x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Selvitä 23 laskemalla yhteen 4 ja 19.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Vähennä 23-x^{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 23-x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Vähennä 23 luvusta 15 saadaksesi tuloksen -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(-8+2x^{2}\right)^{2} laajentamiseen.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Lavenna \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{19-x^{2}} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Laske lukujen 16 ja 19-x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Vähennä 304 molemmilta puolilta.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Vähennä 304 luvusta 64 saadaksesi tuloksen -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Lisää 16x^{2} molemmille puolille.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Selvitä -16x^{2} yhdistämällä -32x^{2} ja 16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan -16 tilalle b ja muuttujan -240 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{16±64}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=10 t=-6$$

Koska x=t^{2}, ratkaisuja haetaan arvioidaan x=±\sqrt{t} positiivista t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Korvaa x arvolla \sqrt{10} yhtälössä \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sievennä. Arvo x=\sqrt{10} täyttää yhtälön.

$$2=2$$

Korvaa x arvolla -\sqrt{10} yhtälössä \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Sievennä. Arvo x=-\sqrt{10} täyttää yhtälön.

$$2=2$$

Näytä yhtälön \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 kaikki ratkaisut.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$