Ratkaise sin(θ)

$$\sin ( \theta )$$

Derivoi muuttujan θ suhteen

$$\cos(\theta )$$

Vaiheet, joissa käytetään derivaatan määritelmää

Funktion f\left(x\right) derivaatta on raja-arvo \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, kun h lähestyy arvoa 0, jos kyseinen raja-arvo on olemassa.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\sin(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta +h)-\sin(\theta )}{h}\right)$$

Käytä sinin summakaavaa.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\theta )-\sin(\theta )}{h}$$

Jaa tekijöihin \sin(\theta ):n suhteen.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\theta )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\theta )\sin(h)}{h}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Käytä tietoa, että \theta on vakio, laskettaessa raja-arvoa, kun h lähestyy arvoa 0.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Raja-arvo \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } on 1.

$$\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta )$$

Jos haluat määrittää raja-arvon \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, kerro ensin osoittaja ja nimittäjä luvulla \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Kerro \cos(h)+1 ja \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Käytä Pythagoraan identiteettiä.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Raja-arvo \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } on 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Käytä tietoa, että \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} on jatkuva arvolla 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sijoita arvo 0 yhtälöön \sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\theta ).

$$\cos(\theta )$$

Laske

$$\sin(\theta )$$