Ratkaise quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), joka on lukujen x+3,x-3,2 pienin yhteinen jaettava.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 17 ja 2x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 34x-102 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 2x+6 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä 36x^{2} yhdistämällä 34x^{2} ja 2x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä -192x yhdistämällä -204x ja 12x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä 324 laskemalla yhteen 306 ja 18.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 4 ja 1.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Laske lukujen x^{2}-9 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Selvitä 31x^{2} yhdistämällä 36x^{2} ja -5x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Lisää 45 molemmille puolille.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Selvitä 369 laskemalla yhteen 324 ja 45.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 31, b luvulla -192 ja c luvulla 369 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Korota -192 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Kerro -4 ja 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Kerro -124 ja 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Lisää 36864 lukuun -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Ota luvun -8892 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Luvun -192 vastaluku on 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Kerro 2 ja 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 192 lukuun 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Jaa 192+6i\sqrt{247} luvulla 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i\sqrt{247} luvusta 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Jaa 192-6i\sqrt{247} luvulla 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -3,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), joka on lukujen x+3,x-3,2 pienin yhteinen jaettava.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 17 ja 2x-6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 34x-102 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Laske lukujen 2x+6 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä 36x^{2} yhdistämällä 34x^{2} ja 2x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä -192x yhdistämällä -204x ja 12x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Selvitä 324 laskemalla yhteen 306 ja 18.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 4 ja 1.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Laske lukujen x^{2}-9 ja 5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Selvitä 31x^{2} yhdistämällä 36x^{2} ja -5x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Vähennä 324 molemmilta puolilta.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Vähennä 324 luvusta -45 saadaksesi tuloksen -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Jaa molemmat puolet luvulla 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Jakaminen luvulla 31 kumoaa kertomisen luvulla 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Jaa -\frac{192}{31} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{96}{31}. Lisää sitten -\frac{96}{31}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Korota -\frac{96}{31} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Lisää -\frac{369}{31} lukuun \frac{9216}{961} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Jaa x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Lisää \frac{96}{31} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$