Ratkaise {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=2$$

$$y=8$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-2x=4$$

Lisää 2x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2x+4$$

Korvaa y arvolla 4+2x toisessa yhtälössä, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Kerro 3 ja 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Lisää 6x lukuun 2x.

$$8x+12=28$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$8x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä y=2x+4. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=2\times 2+4$$

Kerro 2 ja 2.

$$y=4+4$$

Lisää 4 lukuun 4.

$$y=8$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=8,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=8,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Jos haluat saada luvut y ja 3y yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Sievennä.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Vähennä 3y+2x=28 lausekkeesta 3y-6x=12 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Lisää 3y lukuun -3y. Termit 3y ja -3y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-6x-2x=12-28$$

Lisää -6x lukuun -2x.

$$-8x=12-28$$

Lisää 12 lukuun -28.

$$-8x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla -8.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä 3y+2x=28. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$3y+2\times 2=28$$

Kerro 2 ja 2.

$$3y+4=28$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3y=24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$y=8$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=8,x=2$$