Ratkaise {l}{y=x}{y=-x+2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right\}$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=1$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=2$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-x=0,y+x=2$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-x=0$$

Lisää x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=x$$

Korvaa y arvolla x toisessa yhtälössä, y+x=2.

$$x+x=2$$

Lisää x lukuun x.

$$2x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=1$$

Korvaa x arvolla 1 yhtälössä y=x. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=1,x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=2$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-x=0,y+x=2$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=1,x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=2$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-x=0,y+x=2$$

Vähennä y+x=2 lausekkeesta y-x=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-x-x=-2$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-x-x=-2$$

Lisää -x lukuun -x.

$$-2x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$x=1$$

Korvaa x arvolla 1 yhtälössä y+x=2. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+1=2$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=1,x=1$$