Ratkaise {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=5$$

$$y=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää y molemmille puolille.

$$x+y=0$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+y=0$$

Vähennä y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-y$$

Korvaa x arvolla -y toisessa yhtälössä, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Kerro 2 ja -y.

$$-2y+y=5$$

Lisää -2y lukuun y.

$$-y=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$y=-5$$

Korvaa y arvolla -5 yhtälössä x=-y. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\left(-5\right)$$

Kerro -1 ja -5.

$$x=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää y molemmille puolille.

$$x+y=0$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=5,y=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää y molemmille puolille.

$$x+y=0$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Vähennä 2x+y=5 lausekkeesta x+y=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$x-2x+y-y=-5$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$x-2x=-5$$

Lisää x lukuun -2x.

$$-x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$x=5$$

Korvaa x arvolla 5 yhtälössä 2x+y=5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$2\times 5+y=5$$

Kerro 2 ja 5.

$$10+y=5$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=-5$$