Ratkaise {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-3$$

$$y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=-5$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x+2y=1$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2y+1$$

Korvaa x arvolla -2y+1 toisessa yhtälössä, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Lisää -2y lukuun -y.

$$-3y+1=-5$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3y=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x=-2y+1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-2\times 2+1$$

Kerro -2 ja 2.

$$x=-4+1$$

Lisää 1 lukuun -4.

$$x=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-3,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=-5$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-3,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä y molemmilta puolilta.

$$x-y=-5$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Vähennä x-y=-5 lausekkeesta x+2y=1 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Lisää x lukuun -x. Termit x ja -x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$2y+y=1+5$$

Lisää 2y lukuun y.

$$3y=1+5$$

Lisää 1 lukuun 5.

$$3y=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x-y=-5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x-2=-5$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-3,y=2$$