Ratkaise {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-2$$

$$y=7$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$2x+y=3$$

Vähennä y yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=-y+3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Kerro \frac{1}{2} ja -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{-y+3}{2} toisessa yhtälössä, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Lisää -\frac{y}{2} lukuun y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Kerro molemmat puolet luvulla 2.

$$y=7$$

Korvaa y arvolla 7 yhtälössä x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Kerro -\frac{1}{2} ja 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun -\frac{7}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-2,y=7$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-2,y=7$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Vähennä x+y=5 lausekkeesta 2x+y=3 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$2x-x=3-5$$

Lisää 2x lukuun -x.

$$x=3-5$$

Lisää 3 lukuun -5.

$$x=-2$$

Korvaa x arvolla -2 yhtälössä x+y=5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$-2+y=5$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=7$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-2,y=7$$