Ratkaise ∫ y(1-y) wrt y

$$\int y ( 1 - y ) d y$$

Laske

$$-\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+С$$

Ratkaisun vaiheet

Laske lukujen y ja 1-y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y^{2}\mathrm{d}y \frac{y^{3}}{3}. Kerro -1 ja \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Jos F\left(y\right) on f\left(y\right) antiderivative, kaikkien f\left(y\right) antama antiderivatives F\left(y\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}+С$$

Derivoi muuttujan y suhteen

$$y\left(1-y\right)$$