Ratkaise ∫ x^4(4x^2-3)^2

$$\int x ^ { 4 } ( 4 x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 }$$

Laske

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}+С$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4x^{2}-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$\int x^{4}\left(16\left(x^{2}\right)^{2}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\int x^{4}\left(16x^{4}-24x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Laske lukujen x^{4} ja 16x^{4}-24x^{2}+9 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\int 16x^{8}-24x^{6}+9x^{4}\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 16x^{8}\mathrm{d}x+\int -24x^{6}\mathrm{d}x+\int 9x^{4}\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$16\int x^{8}\mathrm{d}x-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{8}\mathrm{d}x \frac{x^{9}}{9}. Kerro 16 ja \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-24\int x^{6}\mathrm{d}x+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}. Kerro -24 ja \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+9\int x^{4}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Kerro 9 ja \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{9}}{9}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{9x^{5}}{5}$$

Sievennä.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$\frac{9x^{5}}{5}-\frac{24x^{7}}{7}+\frac{16x^{9}}{9}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$x^{4}\left(4x^{2}-3\right)^{2}$$