Ratkaise ∫ _{R_{1}}^R_{2}(x^2+y^2)

$$\int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } )$$

Laske

$$\frac{\left(R_{2}-R_{1}\right)\left(3y^{2}+R_{1}R_{2}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int x^{2}+y^{2}\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int y^{2}\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen y^{2} integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{x^{3}}{3}+y^{2}x$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{R_{2}^{3}}{3}+y^{2}R_{2}-\left(\frac{R_{1}^{3}}{3}+y^{2}R_{1}\right)$$

Sievennä.

$$\frac{\left(-R_{1}+R_{2}\right)\left(3y^{2}+R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2}\right)}{3}$$

Derivoi muuttujan y suhteen

$$2y\left(R_{2}-R_{1}\right)$$