Ratkaise ∫ (from 1 to 5) of 27t^3+162t^2+324t+216dt

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } 27 t ^ { 3 } + 162 t ^ { 2 } + 324 t + 216 d t$$

Laske

$$15660$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int 27t^{3}+162t^{2}+324t+216\mathrm{d}t$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 27t^{3}\mathrm{d}t+\int 162t^{2}\mathrm{d}t+\int 324t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$27\int t^{3}\mathrm{d}t+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}. Kerro 27 ja \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Kerro 162 ja \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Kerro 324 ja \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+\int 216\mathrm{d}t$$

Etsi kohteen 216 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}t=at avulla.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+216t$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{27}{4}\times 5^{4}+54\times 5^{3}+162\times 5^{2}+216\times 5-\left(\frac{27}{4}\times 1^{4}+54\times 1^{3}+162\times 1^{2}+216\times 1\right)$$

Sievennä.

$$15660$$