Ratkaise ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Laske

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Kirjoita x^{-\frac{1}{2}} uudelleen muodossa \frac{1}{\sqrt{x}}. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Yksinkertaista ja muunna eksponentiaalisesta muodosta juurilausekkeeksi.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Kerro -1 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Sievennä.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$