Ratkaise ∫ (from 0 to 2) of (y^4-y^2-4y+4) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( y ^ { 4 } - y ^ { 2 } - 4 y + 4 ) d y$$

Laske

$$\frac{56}{15}\approx 3,733333333$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int y^{4}-y^{2}-4y+4\mathrm{d}y$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int y^{4}\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int -4y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int y^{4}\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y^{4}\mathrm{d}y \frac{y^{5}}{5}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\int y^{2}\mathrm{d}y-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y^{2}\mathrm{d}y \frac{y^{3}}{3}. Kerro -1 ja \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-4\int y\mathrm{d}y+\int 4\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}. Kerro -4 ja \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-2y^{2}+\int 4\mathrm{d}y$$

Etsi kohteen 4 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}y=ay avulla.

$$\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{3}}{3}-2y^{2}+4y$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{2^{5}}{5}-\frac{2^{3}}{3}-2\times 2^{2}+4\times 2-\left(\frac{0^{5}}{5}-\frac{0^{3}}{3}-2\times 0^{2}+4\times 0\right)$$

Sievennä.

$$\frac{56}{15}$$