Ratkaise ∫ (from 0 to 2 pi) of xy wrt xdy

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } x y d x d y$$

Laske

$$2d\left(\pi x\right)^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int xydx\mathrm{d}y$$

Ota vakio tekijäksi kohteen \int af\left(y\right)\mathrm{d}y=a\int f\left(y\right)\mathrm{d}y avulla.

$$xdx\int y\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}.

$$xdx\times \frac{y^{2}}{2}$$

Sievennä.

$$\frac{x^{2}dy^{2}}{2}$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{1}{2}x^{2}d\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}x^{2}d\times 0^{2}$$

Sievennä.

$$2x^{2}d\pi ^{2}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$4\pi ^{2}dx$$