Ratkaise ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)*(3x-5) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) \cdot ( 3 x - 5 ) d x$$

Laske

$$-\frac{27}{2}=-13,5$$

Ratkaisun vaiheet

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 2x+3 termi jokaisella lausekkeen 3x-5 termillä.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-10x+9x-15\mathrm{d}x$$

Selvitä -x yhdistämällä -10x ja 9x.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int 6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro 6 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Kerro -1 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen -15 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}-15x$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$2\times 1^{3}-\frac{1^{2}}{2}-15-\left(2\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}-15\times 0\right)$$

Sievennä.

$$-\frac{27}{2}$$