Ratkaise ∫ (from 0 to pi) of x*cosnsqrt{pi}x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } x \cdot \cos n \sqrt { \pi } x d x$$

Laske

$$\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\cos(n)}{3}$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$\int _{0}^{\pi }x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kohteen \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x avulla.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\times \frac{x^{3}}{3}$$

Sievennä.

$$\frac{\sqrt{\pi }\cos(n)x^{3}}{3}$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\pi ^{3}-\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\times 0^{3}$$

Sievennä.

$$\frac{\cos(n)\pi ^{\frac{7}{2}}}{3}$$

Derivoi muuttujan n suhteen

$$-\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\sin(n)}{3}$$