Ratkaise ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Laske

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Ratkaisun vaiheet

Laske lukujen 1-y ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y\mathrm{d}y \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int y^{2}\mathrm{d}y \frac{y^{3}}{3}. Kerro -1 ja \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Sievennä.

$$-\frac{2}{3}$$