Ratkaise ∫ (x-1)(x+2)(x+3)

$$\int ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )$$

Laske

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-6x+С$$

Ratkaisun vaiheet

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen x-1 termi jokaisella lausekkeen x+2 termillä.

$$\int \left(x^{2}+2x-x-2\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x$$

Selvitä x yhdistämällä 2x ja -x.

$$\int \left(x^{2}+x-2\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen x^{2}+x-2 termi jokaisella lausekkeen x+3 termillä.

$$\int x^{3}+3x^{2}+x^{2}+3x-2x-6\mathrm{d}x$$

Selvitä 4x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja x^{2}.

$$\int x^{3}+4x^{2}+3x-2x-6\mathrm{d}x$$

Selvitä x yhdistämällä 3x ja -2x.

$$\int x^{3}+4x^{2}+x-6\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+4\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro 4 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -6\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -6\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen -6 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-6x$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-6x+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$