Ratkaise ∫ (x^2+2)^3

$$\int ( x ^ { 2 } + 2 ) ^ { 3 }$$

Laske

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x+С$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} yhtälön \left(x^{2}+2\right)^{3} laajentamiseen.

$$\int \left(x^{2}\right)^{3}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 3 keskenään saadaksesi 6.

$$\int x^{6}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$\int x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 6x^{4}\mathrm{d}x+\int 12x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{7}}{7}+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Kerro 6 ja \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro 12 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+\int 8\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 8 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x$$

Sievennä.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(x^{2}+2\right)^{3}$$