Ratkaise ∫ (5x-3)^2(2x-1) wrt x

$$\int ( 5 x - 3 ) ^ { 2 } ( 2 x - 1 ) d x$$

Laske

$$\frac{25x^{4}}{2}-\frac{85x^{3}}{3}+24x^{2}-9x+С$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5x-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$\int \left(25x^{2}-30x+9\right)\left(2x-1\right)\mathrm{d}x$$

Laske lukujen 25x^{2}-30x+9 ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\int 50x^{3}-85x^{2}+48x-9\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 50x^{3}\mathrm{d}x+\int -85x^{2}\mathrm{d}x+\int 48x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$50\int x^{3}\mathrm{d}x-85\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Kerro 50 ja \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{25x^{4}}{2}-85\int x^{2}\mathrm{d}x+48\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro -85 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{25x^{4}}{2}-\frac{85x^{3}}{3}+48\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Kerro 48 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{25x^{4}}{2}-\frac{85x^{3}}{3}+24x^{2}+\int -9\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen -9 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{25x^{4}}{2}-\frac{85x^{3}}{3}+24x^{2}-9x$$

Sievennä.

$$24x^{2}-9x-\frac{85x^{3}}{3}+\frac{25x^{4}}{2}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$24x^{2}-9x-\frac{85x^{3}}{3}+\frac{25x^{4}}{2}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(2x-1\right)\left(5x-3\right)^{2}$$