Ratkaise ∫ (2x^3+5)^3

$$\int ( 2 x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 3 }$$

Laske

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+125x+С$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} yhtälön \left(2x^{3}+5\right)^{3} laajentamiseen.

$$\int 8\left(x^{3}\right)^{3}+60\left(x^{3}\right)^{2}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 3 ja 3 keskenään saadaksesi 9.

$$\int 8x^{9}+60\left(x^{3}\right)^{2}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 3 ja 2 keskenään saadaksesi 6.

$$\int 8x^{9}+60x^{6}+150x^{3}+125\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 8x^{9}\mathrm{d}x+\int 60x^{6}\mathrm{d}x+\int 150x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$8\int x^{9}\mathrm{d}x+60\int x^{6}\mathrm{d}x+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{9}\mathrm{d}x \frac{x^{10}}{10}. Kerro 8 ja \frac{x^{10}}{10}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+60\int x^{6}\mathrm{d}x+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}. Kerro 60 ja \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+150\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 125\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}. Kerro 150 ja \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+\int 125\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 125 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{4x^{10}}{5}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{75x^{4}}{2}+125x$$

Sievennä.

$$125x+\frac{75x^{4}}{2}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{4x^{10}}{5}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$125x+\frac{75x^{4}}{2}+\frac{60x^{7}}{7}+\frac{4x^{10}}{5}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(2x^{3}+5\right)^{3}$$