Ratkaise ∫ (2/x^2+x+1) wrt x

$$\int ( \frac { 2 } { x ^ { 2 } } + x + 1 ) d x$$

Laske

$$\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{2}{x}+С$$

Ratkaisun vaiheet

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int \frac{2}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$2\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x -\frac{1}{x}. Kerro 2 ja -\frac{1}{x}.

$$-\frac{2}{x}+\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{2}{x}+\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 1 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$-\frac{2}{x}+\frac{x^{2}}{2}+x$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$-\frac{2}{x}+\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$x+1+\frac{2}{x^{2}}$$