Ratkaise ∫ x^3+1/x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 3 } + 1 } { x + 1 } d x$$

Laske

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin yhtälön \frac{x^{3}+1}{x+1} lausekkeet, joita ei ole jo jaettu tekijöihin.

$$\int \frac{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x+1}\mathrm{d}x$$

Supista x+1 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3} \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} alkaen k\neq -1.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2} \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} alkaen k\neq -1. Kerro -1 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 1 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Sievennä.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivaatta, Kaikki f\left(x\right) Anti johdannaiset annetaan F\left(x\right)+C. Lisää siis integroinnin vakio C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$x^{2}-x+1$$