Ratkaise x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 2x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Kerro x-1 ja x-1, niin saadaan \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Kerro 2x+1 ja 2x+1, niin saadaan \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Laske lukujen x-1 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Laske lukujen 2x^{2}-x-1 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 6x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Selvitä x yhdistämällä 4x ja -3x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Vähennä 3 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Vähennä 10x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Selvitä -9x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -10x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Selvitä -3x yhdistämällä -2x ja -x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Selvitä 3 laskemalla yhteen 1 ja 2.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla -3 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 9 lukuun 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 117 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Jaa 3+3\sqrt{13} luvulla -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{13} luvusta 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Jaa 3-3\sqrt{13} luvulla -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 2x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Kerro x-1 ja x-1, niin saadaan \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Kerro 2x+1 ja 2x+1, niin saadaan \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Laske lukujen x-1 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Laske lukujen 2x^{2}-x-1 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 6x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Selvitä x yhdistämällä 4x ja -3x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Vähennä 3 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Vähennä 10x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Selvitä -9x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -10x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Selvitä -3x yhdistämällä -2x ja -x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Vähennä 1 luvusta -2 saadaksesi tuloksen -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Supista murtoluku \frac{-3}{-9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Supista murtoluku \frac{-3}{-9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{6}. Lisää sitten \frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$