Ratkaise x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x^{2}+1\right), joka on lukujen x^{2}+1,2 pienin yhteinen jaettava.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Laske lukujen 2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{2}, niin saadaan -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 2 saadaksesi tuloksen 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 2 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Jaa -2+2\sqrt{2} luvulla -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Jaa -2-2\sqrt{2} luvulla -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2\left(x^{2}+1\right), joka on lukujen x^{2}+1,2 pienin yhteinen jaettava.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Laske lukujen 2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{2}, niin saadaan -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 2 saadaksesi tuloksen 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$2x-x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa -1 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Lisää 1 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$