Ratkaise 8/x-3/x+4=5

$$\frac{ 8 }{ x } - \frac{ 3 }{ x+4 } =5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}\approx 1,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}\approx -4,441088234$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -4,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+4\right), joka on lukujen x,x+4 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+4\right)\times 8-x\times 3=5x\left(x+4\right)$$

Laske lukujen x+4 ja 8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x+32-x\times 3=5x\left(x+4\right)$$

Laske lukujen 5x ja x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x+32-x\times 3=5x^{2}+20x$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x+32-x\times 3-5x^{2}=20x$$

Vähennä 20x molemmilta puolilta.

$$8x+32-x\times 3-5x^{2}-20x=0$$

Selvitä -12x yhdistämällä 8x ja -20x.

$$-12x+32-x\times 3-5x^{2}=0$$

Kerro -1 ja 3, niin saadaan -3.

$$-12x+32-3x-5x^{2}=0$$

Selvitä -15x yhdistämällä -12x ja -3x.

$$-15x+32-5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}-15x+32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla -15 ja c luvulla 32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 32}}{2\left(-5\right)}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-5\right)\times 32}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+20\times 32}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja 32.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+640}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 225 lukuun 640.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{865}}{2\left(-5\right)}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{865}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{15±\sqrt{865}}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{865}}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+15}{-10}$$

Jaa 15+\sqrt{865} luvulla -10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{865}}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{865} luvusta 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{865}}{-10}$$

Jaa 15-\sqrt{865} luvulla -10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2} x=\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -4,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+4\right), joka on lukujen x,x+4 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+4\right)\times 8-x\times 3=5x\left(x+4\right)$$

Laske lukujen x+4 ja 8 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x+32-x\times 3=5x\left(x+4\right)$$

Laske lukujen 5x ja x+4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x+32-x\times 3=5x^{2}+20x$$

Vähennä 5x^{2} molemmilta puolilta.

$$8x+32-x\times 3-5x^{2}=20x$$

Vähennä 20x molemmilta puolilta.

$$8x+32-x\times 3-5x^{2}-20x=0$$

Selvitä -12x yhdistämällä 8x ja -20x.

$$-12x+32-x\times 3-5x^{2}=0$$

Vähennä 32 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-12x-x\times 3-5x^{2}=-32$$

Kerro -1 ja 3, niin saadaan -3.

$$-12x-3x-5x^{2}=-32$$

Selvitä -15x yhdistämällä -12x ja -3x.

$$-15x-5x^{2}=-32$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}-15x=-32$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}-15x}{-5}=-\frac{32}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-5}\right)x=-\frac{32}{-5}$$

Jaa -15 luvulla -5.

$$x^{2}+3x=-\frac{32}{-5}$$

Jaa -32 luvulla -5.

$$x^{2}+3x=\frac{32}{5}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{32}{5}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{32}{5}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{32}{5} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{173}{20}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}-\frac{3}{2}$$