Ratkaise 70/x+35+70/x-35=40

$$\frac{ 70 }{ x+35 } + \frac{ 70 }{ x-35 } =40$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{7 \sqrt{401} + 7}{4} \approx 36,79372269$$

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}\approx -33,29372269$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -35,35, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-35\right)\left(x+35\right), joka on lukujen x+35,x-35 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen x-35 ja 70 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen x+35 ja 70 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Selvitä 140x yhdistämällä 70x ja 70x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -2450 ja 2450.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen 40 ja x-35 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen 40x-1400 ja x+35 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Vähennä 40x^{2} molemmilta puolilta.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Lisää 49000 molemmille puolille.

$$140x-40x^{2}+49000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-40x^{2}+140x+49000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -40, b luvulla 140 ja c luvulla 49000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Korota 140 neliöön.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\left(-40\right)\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro -4 ja -40.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+160\times 49000}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro 160 ja 49000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+7840000}}{2\left(-40\right)}$$

Lisää 19600 lukuun 7840000.

$$x=\frac{-140±\sqrt{7859600}}{2\left(-40\right)}$$

Ota luvun 7859600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{2\left(-40\right)}$$

Kerro 2 ja -40.

$$x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -140 lukuun 140\sqrt{401}.

$$x=\frac{140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Jaa -140+140\sqrt{401} luvulla -80.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-140±140\sqrt{401}}{-80}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 140\sqrt{401} luvusta -140.

$$x=\frac{-140\sqrt{401}-140}{-80}$$

Jaa -140-140\sqrt{401} luvulla -80.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4} x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -35,35, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-35\right)\left(x+35\right), joka on lukujen x+35,x-35 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-35\right)\times 70+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen x-35 ja 70 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$70x-2450+\left(x+35\right)\times 70=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen x+35 ja 70 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$70x-2450+70x+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Selvitä 140x yhdistämällä 70x ja 70x.

$$140x-2450+2450=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -2450 ja 2450.

$$140x=40\left(x-35\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen 40 ja x-35 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$140x=\left(40x-1400\right)\left(x+35\right)$$

Laske lukujen 40x-1400 ja x+35 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$140x=40x^{2}-49000$$

Vähennä 40x^{2} molemmilta puolilta.

$$140x-40x^{2}=-49000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-40x^{2}+140x=-49000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -40.

$$\frac{-40x^{2}+140x}{-40}=-\frac{49000}{-40}$$

Jakaminen luvulla -40 kumoaa kertomisen luvulla -40.

$$x^{2}+\frac{140}{-40}x=-\frac{49000}{-40}$$

Supista murtoluku \frac{140}{-40} luvulla 20.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{49000}{-40}$$

Jaa -49000 luvulla -40.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=1225$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=1225+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=1225+\frac{49}{16}$$

Lisää 1225 lukuun \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{19649}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{19649}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19649}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{7\sqrt{401}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{7\sqrt{401}}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7\sqrt{401}+7}{4} x=\frac{7-7\sqrt{401}}{4}$$