Ratkaise 5/8x^2-75x+1=0

$$\frac{ 5 }{ 8 } { x }^{ 2 } -75x+1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60\approx 119,986665185$$

$$x=-\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60\approx 0,013334815$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{5}{8}x^{2}-75x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{5}{8}, b luvulla -75 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times \frac{5}{8}}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Korota -75 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times \frac{5}{8}}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Kerro -4 ja \frac{5}{8}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-\frac{5}{2}}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Lisää 5625 lukuun -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\frac{11245}{2}}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Ota luvun \frac{11245}{2} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\frac{\sqrt{22490}}{2}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Luvun -75 vastaluku on 75.

$$x=\frac{75±\frac{\sqrt{22490}}{2}}{2\times \frac{5}{8}}$$

Kerro 2 ja \frac{5}{8}.

$$x=\frac{75±\frac{\sqrt{22490}}{2}}{\frac{5}{4}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±\frac{\sqrt{22490}}{2}}{\frac{5}{4}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 75 lukuun \frac{\sqrt{22490}}{2}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{22490}}{2}+75}{\frac{5}{4}}$$

Jaa 75+\frac{\sqrt{22490}}{2} luvulla \frac{5}{4} kertomalla 75+\frac{\sqrt{22490}}{2} luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x=\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±\frac{\sqrt{22490}}{2}}{\frac{5}{4}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{22490}}{2} luvusta 75.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{22490}}{2}+75}{\frac{5}{4}}$$

Jaa 75-\frac{\sqrt{22490}}{2} luvulla \frac{5}{4} kertomalla 75-\frac{\sqrt{22490}}{2} luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x=-\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60 x=-\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{5}{8}x^{2}-75x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{5}{8}x^{2}-75x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{5}{8}x^{2}-75x=-1$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{8}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{5}{8}x^{2}-75x}{\frac{5}{8}}=-\frac{1}{\frac{5}{8}}$$

Jakaminen luvulla \frac{5}{8} kumoaa kertomisen luvulla \frac{5}{8}.

$$x^{2}+\left(-\frac{75}{\frac{5}{8}}\right)x=-\frac{1}{\frac{5}{8}}$$

Jaa -75 luvulla \frac{5}{8} kertomalla -75 luvun \frac{5}{8} käänteisluvulla.

$$x^{2}-120x=-\frac{1}{\frac{5}{8}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{5}{8} kertomalla -1 luvun \frac{5}{8} käänteisluvulla.

$$x^{2}-120x=-\frac{8}{5}$$

Jaa -120 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -60. Lisää sitten -60:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-120x+\left(-60\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(-60\right)^{2}$$

Korota -60 neliöön.

$$x^{2}-120x+3600=-\frac{8}{5}+3600$$

Lisää -\frac{8}{5} lukuun 3600.

$$x^{2}-120x+3600=\frac{17992}{5}$$

Jaa x^{2}-120x+3600 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-60\right)^{2}=\frac{17992}{5}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-60\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17992}{5}}$$

Sievennä.

$$x-60=\frac{2\sqrt{22490}}{5} x-60=-\frac{2\sqrt{22490}}{5}$$

Lisää 60 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60 x=-\frac{2\sqrt{22490}}{5}+60$$