Ratkaise 5/4x^2-1/2x+025-65^2=0

$$\frac{ 5 }{ 4 } { x }^{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } x+025- { 65 }^{ 2 } =0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{9389} + 1}{5} \approx 58,338111424$$

$$x=\frac{1-3\sqrt{9389}}{5}\approx -57,938111424$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 0 ja 25, niin saadaan 0.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+0-65^{2}=0$$

Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-65^{2}=0$$

Laske 65 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4225.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-4225=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{5}{4}, b luvulla -\frac{1}{2} ja c luvulla -4225 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{4}\left(-4225\right)}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-4\times \frac{5}{4}\left(-4225\right)}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{5}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-5\left(-4225\right)}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro -5 ja -4225.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}+21125}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun 21125.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{84501}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Ota luvun \frac{84501}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\frac{3\sqrt{9389}}{2}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Luvun -\frac{1}{2} vastaluku on \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{9389}}{2}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{5}{4}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{9389}}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{9389}}{2}}{\frac{5}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{3\sqrt{9389}}{2}.

$$x=\frac{3\sqrt{9389}+1}{2\times \frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{1+3\sqrt{9389}}{2} luvulla \frac{5}{2} kertomalla \frac{1+3\sqrt{9389}}{2} luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{3\sqrt{9389}+1}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{3\sqrt{9389}}{2}}{\frac{5}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{3\sqrt{9389}}{2} luvusta \frac{1}{2}.

$$x=\frac{1-3\sqrt{9389}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{1-3\sqrt{9389}}{2} luvulla \frac{5}{2} kertomalla \frac{1-3\sqrt{9389}}{2} luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{1-3\sqrt{9389}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{9389}+1}{5} x=\frac{1-3\sqrt{9389}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 0 ja 25, niin saadaan 0.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+0-65^{2}=0$$

Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-65^{2}=0$$

Laske 65 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4225.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-4225=0$$

Lisää 4225 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=4225$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x}{\frac{5}{4}}=\frac{4225}{\frac{5}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{5}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{5}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}\right)x=\frac{4225}{\frac{5}{4}}$$

Jaa -\frac{1}{2} luvulla \frac{5}{4} kertomalla -\frac{1}{2} luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{4225}{\frac{5}{4}}$$

Jaa 4225 luvulla \frac{5}{4} kertomalla 4225 luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=3380$$

Jaa -\frac{2}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{5}. Lisää sitten -\frac{1}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=3380+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=3380+\frac{1}{25}$$

Lisää 3380 lukuun \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{84501}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{84501}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{84501}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{3\sqrt{9389}}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{3\sqrt{9389}}{5}$$

Lisää \frac{1}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{9389}+1}{5} x=\frac{1-3\sqrt{9389}}{5}$$