Ratkaise 5/4x^2-1/2x+1/4=0

$$\frac{ 5 }{ 4 } { x }^{ 2 } - \frac{ 1 }{ 2 } x+ \frac{ 1 }{ 4 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{5}{4}, b luvulla -\frac{1}{2} ja c luvulla \frac{1}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-4\times \frac{5}{4}\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro -4 ja \frac{5}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-5\times \frac{1}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro -5 ja \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1-5}{4}}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun -\frac{5}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{-1}}{2\times \frac{5}{4}}$$

Ota luvun -1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±i}{2\times \frac{5}{4}}$$

Luvun -\frac{1}{2} vastaluku on \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±i}{2\times \frac{5}{4}}$$

Kerro 2 ja \frac{5}{4}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{1}{2} lukuun i.

$$x=\frac{\frac{1}{2}+i}{\frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{1}{2}+i luvulla \frac{5}{2} kertomalla \frac{1}{2}+i luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{2}±i}{\frac{5}{2}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i luvusta \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}-i}{\frac{5}{2}}$$

Jaa \frac{1}{2}-i luvulla \frac{5}{2} kertomalla \frac{1}{2}-i luvun \frac{5}{2} käänteisluvulla.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Kun luku \frac{1}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{5}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{\frac{5}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x}{\frac{5}{4}}=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

Jakaminen luvulla \frac{5}{4} kumoaa kertomisen luvulla \frac{5}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

Jaa -\frac{1}{2} luvulla \frac{5}{4} kertomalla -\frac{1}{2} luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$$

Jaa -\frac{1}{4} luvulla \frac{5}{4} kertomalla -\frac{1}{4} luvun \frac{5}{4} käänteisluvulla.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa -\frac{2}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{5}. Lisää sitten -\frac{1}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{1}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Lisää \frac{1}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$