Ratkaise 3/1+x-2x^2+x/x-1

$$\frac{ 3 }{ 1+x-2 { x }^{ 2 } } + \frac{ x }{ x-1 }$$

Laske

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jaa 1+x-2x^{2} tekijöihin.

$$\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) ja x-1 pienin yhteinen jaettava on \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Kerro \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} ja \frac{-1}{-1}. Kerro \frac{x}{x-1} ja \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Koska arvoilla \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} ja \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Suorita kertolaskut kohteessa 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Jaa tekijöihin yhtälön \frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} lausekkeet, joita ei ole jo jaettu tekijöihin.

$$\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Supista x-1 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$-\frac{4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Jaa 1+x-2x^{2} tekijöihin.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1})$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) ja x-1 pienin yhteinen jaettava on \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Kerro \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} ja \frac{-1}{-1}. Kerro \frac{x}{x-1} ja \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Koska arvoilla \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} ja \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Suorita kertolaskut kohteessa 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Jaa tekijöihin yhtälön \frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} lausekkeet, joita ei ole jo jaettu tekijöihin.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Supista x-1 sekä osoittajasta että nimittäjästä.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3}{2x+1})$$

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+3)-\left(2x^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+1)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{1-1}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{1-1}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Lavenna osittelulain avulla.

$$\frac{2x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{0}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{2\times 2x^{1}+2x^{0}-\left(2\times 2x^{1}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-\left(4x^{1}+6x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Poista tarpeettomat sulkumerkit.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-4x^{1}-6x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{1}+\left(2-6\right)x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Vähennä 4 luvusta 4 ja 6 luvusta 2.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{-4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$